Fonctions hyperboliques

On appelle respectivement sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique les fonctions sinh et cosh définies sur \(\mathbb{R}\)  par : \(\sinh (x) =\dfrac{\text e^x - \text e^{-x}}{2}\) et  \(\cosh (x) =\dfrac{\text e^x + \text e^{-x}}{2}\) .

1. Établir, pour tout  \(x\) réel, \(\cosh(x) + \sinh(x)=\text e^x\)  et \(\cosh(x) -\sinh(x)=\text e^{-x}\) .

2. Montrer que, pour tout  \(x\) réel, \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\) .

3. Montrer que, pour tout  \(x\) réel,  \(\cosh(x) \times \sinh(x) = \dfrac{\text e^{2x}-\text e^{-2x}}{4}\) .

4. Sachant que la fonction tangente hyperbolique définie sur  \(\mathbb{R}\)  est  \(\tanh(x) = \dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\) , déterminer son expression en fonction de \(x\) .